Grundkurs Mathematik

Jetzt befassen wir uns mit einem neuen Kapitel der Mathematik: Trigonometrie. Sie ist ein wichtiges Teilgebiet der Geometrie und sieht in ihrer Grundaufgabe die Berechnung von Seitenlängen und Winkelgrößen eines Dreiecks, wenn drei Größen dieses Dreiecks gegeben sind. Die europäische Flagge ist auf den Grundsätzen der Trigonometrie aufgebaut: Auf einem nicht sichtbaren Kreis sind goldene Sterne gleichmäßig angeordnet. Wie kann man die Lage dieser Sterne mathematisch beschreiben? * Das kartesische Koordinatensystem Bei der Lage von Punkten denken wir sofort an ein Koordinatensystem. Und in der Schulmathematik meistens an ein kartesisches Koordinatensystem. Es besteht aus einer Rechtswertachse, die üblicherweise als x-Achse bezeichnet wird, und aus einer Hochwertachse, als y-Achse bezeichnet. Die beiden Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten, die gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind. Jeder Punkt in der Ebene kann über die Angabe von zwei Achsenwerten, also einem x-Wert und einem dazugehörigen y-Wert, angegeben werden. Nehmen wir den Punkt P mit den Koordinaten drei und vier: Er befindet sich im ersten Quadranten des Koordinatensystems. Der Punkt Q soll die Koordinaten minus vier und drei haben. Also vier auf der x-Achse nach links und dann drei in y-Achsenrichtung nach oben - ein Punkt im zweiten Quadranten. * Erstes Bestimmungsmerkmal: die Längeneinheiten Könnte man die Lage der beiden Punkte auch mit anderen Angaben fixieren? Dazu löschen wir die Einheiten und die Achsenbezeichnungen aus unserem System und lassen nur noch die Punkte P und Q mit dem Achsenkreuz stehen. Verbindet man die Punkte vom Achsenschnittpunkt Null aus, kann man erkennen, dass beide Punkte gleich weit vom Achsenschnittpunkt, sprich unserem Koordinatenursprung, entfernt liegen. In unserem Falle fünf Längeneinheiten. Alle Punkte, die vom Koordinatenursprung fünf Längeneinheiten entfernt sind, liegen auf einem Kreisbogen um den Koordinatenursprung mit dem Radius fünf Längeneinheiten. Wie finde ich dann aber die Lage meiner Punkte P und Q? Es muss noch ein zweites Bestimmungsmerkmal gefunden werden. * Zweites Bestimmungsmerkmal: der Winkel Das zweite Merkmal ist der Winkel, den die Verbindungsstrecke mit der waagerechten Achse (x-Achse) einschließt. Die Achsen bilden die Winkel 0 Grad, 90 Grad, 180 Grad und 270 Grad. Die 0 Grad-Achse bildet dabei den ersten Schenkel des Winkels. Er schließt mit dem zweiten Schenkel 0P einen Winkel von 53,13 Grad ein. Bis zum zweiten Schenkel OQ beträgt das Winkelmaß 143,13 Grad. Man hätte also die Lage der Punkte P und Q auch mit den Angaben 5 und 53,13 Grad für P und 5 und 143,13 Grad für Q angeben können. Wir haben somit eine zweite Art für die Festlegung von Punkten in einem Koordinatensystem gefunden. Es ist die Angabe der Polarkoordinaten.